На рёбрах $DD_1$ и $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 8 отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $DP = 7$, а $B_1Q = 3$. Плоскость $A_1PQ$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $CC_1$.
б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $A_1PQ$.
Та же задача с другими данными. Всего 6.
На рёбрах $DD_1$ и $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 12 отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $DP = 10$, а $B_1Q = 4$. Плоскость $A_1PQ$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $CC_1$.
б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $A_1PQ$.
Точки $E$ и $K$ являются соответственно серединами рёбер $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 6. Через точки $E$ и $K$ проведена плоскость $\alpha$, пересекающая рёбра $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в точках $M$ и $N$ соответственно, при этом $EM=2\sqrt{10}$. Плоскость $\alpha$ пересекает луч $BB_1$ в точке $L$.
а) Докажите, что $LB_1:B_1B=1:2$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $\alpha$.
Точки $E$ и $K$ являются соответственно серединами рёбер $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 4. Через точки $E$ и $K$ проведена плоскость $\alpha$, пересекающая рёбра $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в точках $M$ и $N$ соответственно, при этом $EM=\sqrt{17}$. Плоскость $\alpha$ пересекает луч $BB_1$ в точке $L$.
а) Докажите, что $LB_1=B_1B$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $\alpha$.
Точки $E$ и $K$ являются соответственно серединами рёбер $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 10. Через точки $E$ и $K$ проведена плоскость $\alpha$, пересекающая рёбра $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в точках $M$ и $N$ соответственно, при этом $EM=\sqrt{109}$. Плоскость $\alpha$ пересекает луч $BB_1$ в точке $L$.
а) Докажите, что $LB_1:B_1B=2:3$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $\alpha$.
Точки $E$ и $K$ лежат соответственно на рёбрах $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 6, причём $BE:EA=BK:KC=1:2$. Через точки $E$ и $K$ проведена плоскость $\alpha$, пересекающая рёбра $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в точках $M$ и $N$ соответственно, при этом $EM=\sqrt{37}$. Плоскость $\alpha$ пересекает луч $BB_1$ в точке $L$.
а) Докажите, что $LB_1=B_1B$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $\alpha$.
Точки $E$ и $K$ лежат соответственно на рёбрах $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 6, причём $BE:EA=BK:KC=2:1$. Через точки $E$ и $K$ проведена плоскость $\alpha$, пересекающая рёбра $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в точках $M$ и $N$ соответственно, при этом $EM=3\sqrt{5}$. Плоскость $\alpha$ пересекает луч $BB_1$ в точке $L$.
а) Докажите, что $LB_1:B_1B=1:3$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $\alpha$.