Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ:52
Пусть $S$ км — весь путь, $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда вторая машина первую половину пути ($\dfrac{S}{2}$ км) ехала со скоростью $x-13$ км/ч, а вторую половину — со скоростью 78 км/ч. Время каждого равно сумме времён на половинах пути ($t=\dfrac{S}{v}$), и они прибыли одновременно:
$$\frac{S}{2(x-13)}+\frac{S}{2\cdot78}=\frac{S}{x}.$$
Делим обе части на $S$ и умножаем на $156x(x-13)$: $78x+x(x-13)=156(x-13)$. Раскрываем скобки: $78x+x^2-13x=156x-2028$, откуда $x^2-91x+2028=0$. Дискриминант $D=91^2-4\cdot2028=8281-8112=169$, $\sqrt{D}=13$, $x=\dfrac{91\pm13}{2}$, то есть $x=52$ или $x=39$. По условию $x>48$, поэтому $x=52$.
Ответ: 52.