Задание 19 №13630 — ЕГЭ по профильной математике

Первое уравнение равносильно совокупности двух случаев: $y=3x-9$ либо $y=\dfrac{3x-9}{x}$ при $x\ne0$ и $y-3x+9\geqslant0$. Для второго случая условие принимает вид $\dfrac{(3x-9)(1-x)}{x}\geqslant0$, то есть $x<0$ или $1\leqslant x\leqslant3$.

Подставим $y=4x+a$. В первом случае всегда получаем одно решение с $x=-a-9$. Во втором случае необходимо решить

$$4x^2+(a-3)x+9=0,\qquad x<0\ \text{или}\ 1\leqslant x\leqslant3.$$

Дискриминант $D=(a-15)(a+9)$. При $-9<a<15$ корней нет. При $a=-9$ имеется один корень $x=1{,}5$, при $a=15$ — один корень $x=-1{,}5$; оба допустимы. При $a>15$ два корня отрицательны и допустимы. При $a<-9$ оба корня положительны.

Обозначим $f(x)=4x^2+(a-3)x+9$. При $a<-9$ вершина параболы имеет абсциссу $\dfrac{3-a}{8}$, а её ордината $\dfrac{(9+a)(15-a)}{16}$ отрицательна. Больший корень принадлежит $[1;3]$ тогда и только тогда, когда $\dfrac{3-a}{8}<3$ и $f(3)\geqslant0$, откуда $a\geqslant-12$. Меньший корень принадлежит $[1;3]$ тогда и только тогда, когда $f(1)\geqslant0$, то есть $a\geqslant-10$.

Решения двух случаев совпадают, если $f(-a-9)=0$, то есть

$$3a^2+66a+360=0;\qquad(a+10)(a+12)=0.$$

При $a<-12$ второй случай решений не даёт; при $a=-12$ его единственное решение совпадает с первым. При $-12<a<-10$ имеется ровно одно дополнительное решение, при $a=-10$ — два, одно из которых совпадает с первым. При $-10<a<-9$ решений три. Значения $a=-9$ и $a=15$ дают по два различных решения, а при $a>15$ их три. Итак, подходят $-12<a\leqslant-10$, $a=-9$ и $a=15$.

Ответ: $-12<a\le -10$; $a=-9$; $a=15$