Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$$\begin{cases}(a-x)^2+(y+a)^2\leqslant a+3,\\x-y\leqslant|3-2a|\end{cases}$$
имеет единственное решение.
Решение
Первое неравенство возможно только при $a\geqslant-3$. При $a=-3$ оно задаёт единственную точку $(-3;3)$; второе неравенство в ней выполнено: $-6\leqslant9$.
При $a>-3$ первое неравенство задаёт замкнутый круг центра $(a;-a)$ радиуса $\sqrt{a+3}$. Второе задаёт полуплоскость над прямой: $y\geqslant x+2a-3$ при $a<1{,}5$ и $y\geqslant x-2a+3$ при $a\geqslant1{,}5$. Единственное решение возможно лишь тогда, когда прямая касается круга сверху, а вся остальная часть круга лежит вне полуплоскости.
В случае $-3<a<1{,}5$ подставим $y=x+2a-3$ в уравнение окружности. Получаем
$$x^2+(2a-3)x+\dfrac{10a^2-19a+6}2=0.$$
Касание требует $D=-16a^2+26a-3=0$, откуда $a=\dfrac{1}{8}$ или $a=1{,}5$. В данном случае остаётся $a=\dfrac{1}{8}$. Но при этом прямая $y=x-\dfrac{11}{4}$ касается окружности снизу; полуплоскость содержит весь круг, поэтому решений бесконечно много.
В случае $a\geqslant1{,}5$ подставляем $y=x-2a+3$ и получаем
$$x^2+(3-2a)x+\dfrac{2a^2-7a+6}2=0;\qquad D=2a-3.$$
Касание возможно при $a=1{,}5$. Система принимает вид $(x-1{,}5)^2+(y+1{,}5)^2\leqslant4{,}5$, $y\geqslant x$. Здесь прямая касается круга сверху, поэтому решение единственно.
Итак, подходят $a=-3$ и $a=1{,}5$.
Ответ: $-3;\ 1{,}5$