Пусть $c=\arccos0{,}6$. При $a>0$ положительные корни уравнения $\cos ax=0{,}6$ в порядке возрастания:
$$x_1=\dfrac ca,\quad x_2=\dfrac{2\pi-c}a,\quad x_3=\dfrac{2\pi+c}a,\quad\ldots,\quad x_{2n}=\dfrac{2\pi n-c}a,\quad x_{2n+1}=\dfrac{2\pi n+c}a.$$
На $[\pi;6\pi]$ ровно десять корней, если на $[0;6\pi]$ их $10+k$, а на $[0;\pi)$ — $k$.
Если $k$ чётно, условия на последний включённый и первый следующий корень дают
$$\dfrac{k+10}6-\dfrac c{6\pi}\leqslant a<\dfrac{k+10}6+\dfrac c{6\pi};\qquad k-\dfrac c\pi<a\leqslant k+\dfrac c\pi.$$
Эти промежутки пересекаются только при $2-\dfrac{7c}{5\pi}\leqslant k<2+\dfrac{7c}{5\pi}$. Из $0{,}92<c<0{,}93$ следует, что единственное чётное $k$ — 2. Тогда $2-\dfrac c{6\pi}\leqslant a<2+\dfrac c{6\pi}$.
Если $k$ нечётно, аналогично получаем
$$\dfrac{k+9}6+\dfrac c{6\pi}\leqslant a<\dfrac{k+11}6-\dfrac c{6\pi};\qquad k-1+\dfrac c\pi<a\leqslant k+1-\dfrac c\pi.$$
Для пересечения необходимо $0{,}6+\dfrac{7c}{5\pi}\leqslant k<3{,}4-\dfrac{7c}{5\pi}$. С учётом оценки для $c$ нечётных целых $k$ здесь нет.
При $a=0$ корней нет. Поскольку $\cos ax=\cos(-ax)$, отрицательные значения $a$ получаем отражением найденного промежутка относительно нуля.
Ответ: $\left(-2-\dfrac{\arccos 0{,}6}{6\pi};\,-2+\dfrac{\arccos 0{,}6}{6\pi}\right]\cup\left[2-\dfrac{\arccos 0{,}6}{6\pi};\,2+\dfrac{\arccos 0{,}6}{6\pi}\right)$