Задание 19 №13600 — ЕГЭ по профильной математике

После переноса всех слагаемых в одну часть и умножения на 3 получаем

$$3a\log_2(a^2-x^2)+(x-a)^{1{,}5}\log_2(a^2-x^2)+9(x-a)-3(x-a)^{1{,}5}-3x\log_2(a^2-x^2)=0,$$

то есть $(\log_2(a^2-x^2)-3)(\sqrt{x-a}-3)(x-a)=0$.

Область определения задаётся условиями $x-a\geqslant0$, $(a-x)(a+x)>0$. Они равносильны $a<0$, $a<x<-a$. Поэтому $x-a\ne0$ и остаётся совокупность уравнений $a^2-x^2=8$ и $\sqrt{x-a}=3$.

Первое уравнение даёт $x=\pm\sqrt{a^2-8}$ при $a\leqslant-2\sqrt2$; его корни совпадают при $a=-2\sqrt2$. Второе даёт $x=a+9$, причём $a+9<-a$, то есть $a<-4{,}5$.

Корень второго уравнения совпадает с одним из корней первого, когда $a^2-8=(a+9)^2$, откуда $a=-\dfrac{89}{18}=-4\dfrac{17}{18}<-4{,}5$.

При $a<-\dfrac{89}{18}$ имеются три корня; при $a=-\dfrac{89}{18}$ — два; при $-\dfrac{89}{18}<a<-4{,}5$ — три; при $-4{,}5\leqslant a<-2\sqrt2$ — два; при $a=-2\sqrt2$ — один; при $a>-2\sqrt2$ корней нет.

Ответ: $[-4{,}5;\,-2\sqrt{2})\cup\left\{-4\dfrac{17}{18}\right\}$