В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}\,kt + \dfrac{g}{2}k^2 t^2$, где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0 = 5$ м — начальная высота столба воды, $k = \dfrac{1}{200}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с$^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Ответ:100
Четверть первоначального объёма воды в цилиндрическом баке соответствует четверти начальной высоты: $H(t)=\dfrac{H_0}{4}$.
Подставляем $H_0=5$, $k=\dfrac1{200}$, $g=10$: $\sqrt{2gH_0}=\sqrt{100}=10$, и уравнение принимает вид $5-\dfrac{t}{20}+\dfrac{t^2}{8000}=1{,}25$. Умножаем на 8000: $t^2-400t+30000=0$.
Дискриминант $D=400^2-4\cdot30000=40000$, $\sqrt D=200$. Корни $t=\dfrac{400\pm200}{2}$, то есть $t=100$ или $t=300$. Второй корень относится уже к моменту после полного опустошения бака (формула там физического смысла не имеет), поэтому берём меньший корень.
Ответ: 100.