В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания $ABC$ равна 4, а боковое ребро $AA_1$ равно 6. На рёбрах $BB_1$, $CC_1$ и $A_1B_1$ соответственно отмечены точки $N$, $K$ и $P$ так, что $CK:KC_1=B_1N:NB=B_1P:PA_1=1:2$. Плоскость $KNP$ пересекает ребро $A_1C_1$ в точке $F$.
а) Докажите, что точка $F$ — середина ребра $A_1C_1$.
б) Найдите расстояние от точки $F$ до плоскости $ANK$.
Решение
а) Пусть $S=AA_1\cap NP$. Точка $S$ принадлежит плоскости $KNP$, поэтому прямая $SK$ пересекает $A_1C_1$ в точке $F$. Треугольники $PB_1N$ и $PA_1S$ подобны по двум углам с коэффициентом $PB_1:PA_1=1:2$. Следовательно, $A_1S=2B_1N=4$.
Через $K$ проведём прямую, параллельную $A_1C_1$; её пересечение с $AA_1$ обозначим $T$. Четырёхугольник $A_1C_1KT$ — прямоугольник, поэтому $A_1T=6-2=4$. Значит, $A_1$ — середина $ST$. Поскольку $A_1F\parallel TK$, отрезок $A_1F$ — средняя линия треугольника $KTS$. Поэтому $A_1F=2$, то есть $F$ — середина $A_1C_1$.
б) Рассмотрим пирамиду $FANK$. Вычисление объёма с двумя основаниями даёт $xS_{ANK}=yS_{AFK}$, где $x$ — искомое расстояние от $F$ до $ANK$, а $y$ — расстояние от $N$ до $AFK$. Так как призма правильная, $y=\dfrac{\sqrt3}2AB=2\sqrt3$.
В треугольнике $AFK$ имеем $AK=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$, $FK=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$, $AF=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$. Поэтому он прямоугольный и $S_{AFK}=\dfrac12AK\cdot FK=10$.
В треугольнике $ANK$: $AK=KN=\sqrt{20}$, $AN=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$. Поэтому
$$S_{ANK}=\dfrac12AN\sqrt{AK^2-\dfrac{AN^2}4}=4\sqrt6;\qquad x=\dfrac{2\sqrt3\cdot10}{4\sqrt6}=\dfrac{5\sqrt2}2.$$
Ответ: б) $\dfrac{5\sqrt2}{2}$