Вариант 8 из 36

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 36. Найдите радиус окружности, если бо́льшая боковая сторона равна 11.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координаты у которых — целые числа. Найдите скалярное произведение векторов $0{,}5\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами $5\sqrt{2}$ и $12\sqrt{2}$ и гипотенузой, равной боковому ребру призмы. Найдите площадь поверхности призмы.

Вероятность того, что новый тостер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,083. В некотором городе из 1000 проданных тостеров в течение года в гарантийную мастерскую поступили 102 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Перед стрелком две мишени: первая на расстоянии 100 м, вторая — 70 м. Стрелок попадает в первую мишень первым выстрелом с вероятностью 0,6, а вторым выстрелом — с вероятностью 0,7. Во вторую мишень он первым выстрелом попадает с вероятностью 0,7, а вторым выстрелом — с вероятностью 0,8. Стрелок может сделать или 2 выстрела по первой мишени и 1 выстрел по второй, или 1 выстрел по первой мишени и 2 выстрела по второй. Стрелок выбирает тот вариант, в котором выше вероятность попасть в обе мишени. Запишите в ответ вероятность попадания в обе мишени в выбранном варианте.

Страховая компания заключает с клиентами страховые договоры (полисы). При наступлении страхового случая клиент получает выплату 300 тысяч рублей. Вероятность события «выплата по отдельно взятому договору» равна 0,01. Математическое ожидание случайной величины «доход страховой компании от продажи одного полиса» равно 3000 рублей. Найдите стоимость полиса. Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{x}+27\right)^3=8$.

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_{81}32}{\log_{27}4}$.

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=54$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 75 до 105 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 105 до 135 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}=\dfrac{1}{f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.

Смешав 30-процентный и 70-процентный растворы кислоты и добавив 5 кг 50-процентного раствора той же кислоты, получили 60-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг 50-процентного раствора кислоты добавили 15 кг этого же раствора, то получили бы 56-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 70-процентного раствора использовали для получения смеси?

На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2+0{,}8x+c$. Найдите $f(-10)$.

В июле 2031 года Рита планирует взять кредит в банке на 2 года в размере 1400 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $r$ % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если общая сумма платежей по кредиту должна составить 1736 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $4^{2+\cos^22x}-4^{\cos^22x}=9^{1+\cos^22x}+9^{\cos^22x}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

Основанием прямой призмы $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ является пятиугольник $ABCDE$, в котором $ABCE$ и $OCDE$ — квадраты, где точка $O$ — пересечение прямых $AC$ и $BE$. Треугольник $AB_1D$ равнобедренный.

а) Докажите, что расстояния от точки $O$ до прямой $A_1C_1$, от точки $A_1$ до прямой $OC_1$ и от точки $C_1$ до прямой $OA_1$ равны.

б) Найдите косинус угла между прямой $DE_1$ и плоскостью $AEB_1$, если $AA_1=3$.

Решите неравенство $\log_{\sqrt{5}+2}\left(\log_{\sqrt{5}-2}(2-5x)\right)\leqslant 0$.

При подключении источника переменного тока к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) подчиняется закону

$$U_L(\omega)=\dfrac{UL\omega}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}},$$

где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $L$ — индуктивность катушки, $\omega$ — частота переменного тока (в с$^{-1}$), $R$ — сопротивление резистора, $C$ — ёмкость конденсатора. При какой частоте $\omega$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U=180$ В, $L=0{,}018$ Гн, $C=4\cdot10^{-5}$ Ф и $R=10$ Ом?

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $A$ и $D$ — в точке $L$, $AB<AD$.

а) Докажите, что $OL=\dfrac{AD-AB}{2}$.

б) Найдите площадь треугольника $DOL$, если $AB=16$, $BC=30$, $AL=24$.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}(5y-10x-19)^2=6{,}25,\\(x-1)^2+(y-5)^2=a^{4x-2y+7{,}6}\end{cases}$$

имеет два или три решения.

Маша написала программу, которая по заданному ей одному натуральному числу $D$ $(D\geqslant 2)$ выдаёт ряд чисел $n_i$ $(i=1;\,2;\,3\ldots 999;\,1000)$ по следующим правилам:

1) $n_1=1000-6D$,

2) для всех $k\geqslant 1$: если $n_k>6D$, то $n_{k+1}=n_k-6D$, иначе $n_{k+1}=(n_k-6D)^2$.

а) Может ли в ряду полученных чисел быть число 200?

б) Может ли в ряду полученных чисел быть число 550?

в) Какое количество различных чисел будет в полученном ряду, если $D=28$?