Вариант 37 из 37

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=BC$, $AB=12$, $\cos BAC=\dfrac{\sqrt{19}}{10}$. Найдите высоту $AH$.

Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны соответственно 5 и 8, а их скалярное произведение равно 12. Найдите длину вектора $\vec{c}$, если $\vec{c}=3\vec{a}+\vec{b}$.

Диагональ куба равна $\sqrt{147}$. Найдите его объём.

В группе 21 человек, среди них — Иван и Елена. Группу случайным образом делят на 3 одинаковые по численности подгруппы. Найдите вероятность того, что Иван и Елена окажутся в одной подгруппе.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 75 % яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 25 % яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 70 % яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Пластиковые бутылки с питьевой водой продаются поштучно, либо упаковками по 4 или 8 штук. Известно, что в среднем 80 покупателей из 100 эту воду не покупают, 11 покупают одну бутылку, 5 человек — упаковку, в которой 4 бутылки, и 4 человека берут упаковку, в которой 8 бутылок. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество бутылок в одной покупке».

Найдите корень уравнения $5^{x+3}=6{,}25\cdot 2^{x+3}$.

Найдите значение выражения $\sqrt{12}-\sqrt{48}\sin^2\dfrac{17\pi}{12}$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=6-2x$ или совпадает с ней.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $0{,}8$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}4$ с? Ответ дайте в метрах.

Мише надо решить 168 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Миша решил 14 задач. Определите, сколько задач решил Миша в последний день, если со всеми задачами он справился за 8 дней.

На рисунке изображены графики функций $f(x)=-2x^2+7x-2$ и $g(x)=ax^2+bx+c$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Александр хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Александра не было денег на покупку акций, а пакет стоил 32 000 рублей. В середине каждого месяца Александр откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Александру каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

а) Решите уравнение $4\sin x\cos^2 x-1=\cos x\left(1-4\sin x\right)$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2};\,2\pi\right]$.

В правильной треугольной пирамиде $MABC$ двугранный угол при основании равен $\arccos\dfrac{3\sqrt{58}}{58}$. Через точку $K$ ребра $MC$ и вершины $A$ и $B$ проходит плоскость $\alpha$ так, что площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$ относится к площади основания как $7:\sqrt{85}$.

а) Докажите, что прямая $MC$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

б) Найдите объём пирамиды $MABK$, если объём пирамиды $MABC$ равен $170\sqrt{2}$.

Решите неравенство $\dfrac{16x^3-8x^2-7x-1}{2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4}\leqslant 0$.

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(\mathcal{E})=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\dfrac{1}{kT}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\mathcal{E}}\,e^{-\frac{\mathcal{E}}{kT}},$$

где $k=1{,}38\cdot 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана, $\mathcal{E}$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\mathcal{E}$, при котором функция плотности $f(\mathcal{E})$ принимает наибольшее значение, если $T=700$ К.

На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $E$. Точка $F$ — середина отрезка $BE$, $G$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $CF$. Отношение площади треугольника $EFG$ к площади треугольника $ABC$ равно $2:15$.

а) Докажите, что $AE:ED=1:4$.

б) Найдите площадь четырёхугольника $BDGF$, если $AC=\sqrt{85}$, $BC=10$, $AB=15$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений

$$\begin{cases}\sqrt{x}\left(x^2-x+2\right)-yx^3=yx(2-x),\\y^2+(2a-7)y+(a+2)(5-3a)=0\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Для натурального числа $n$ рассмотрим выражение

$$P(n)=n+s(n)+2s(s(n)),$$

где $s(m)$ — сумма цифр натурального числа $m$ (например, $P(999)=999+27+18=1044$).

а) Может ли $P(n)$ равняться 160 при некотором $n$?

б) Может ли $P(n)$ равняться 156 при некотором $n$?

в) Найдите все натуральные $n$, для которых $P(n)=2023$.