ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 + 2ax - a^2, \\ x^2 = y^2 \end{cases}$$

имеет ровно 4 решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$x^4 \sin\alpha + 2x^2 \cos\alpha + \sin\alpha = 0$$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 2x + 2y, \\ x^2 + y^2 = 2(1 + a)x + 2(1 - a)y - 2a^2 \end{cases}$$

имеет ровно 2 различных решения.

У ювелира есть 47 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче $n_1$ камней, во второй — $n_2$ камней, в третьей — $n_3$ камней, причём $n_1 < n_2 < n_3$. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна $S_1$, во второй — $S_2$, а в третьей — $S_3$.

а) Может ли выполняться неравенство $S_1 > S_2 > S_3$?

б) Может ли выполняться неравенство $S_1 > S_2 > S_3$, если масса любого камня не превосходит 105 граммов?

в) Известно, что масса любого камня не превосходит $k$ граммов. Найдите наименьшее целое значение $k$, для которого может выполняться неравенство $S_1 > S_2 > S_3$.

По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое количество конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть всех своих конфет. После этого у любых двух мальчиков стало разное количество конфет, а у любых двух девочек — одинаковое. Известно, что каждый отдал натуральное число конфет.

а) Могло ли мальчиков быть столько же, сколько и девочек?

б) Могло ли мальчиков быть больше, чем девочек?

в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?