Задание 13. Экономическая задача (кредиты, вклады, оптимизация)

Задание 13. Экономическая задача (кредиты, вклады, оптимизация) — №7260, ЕГЭ по профильной математике

Задание 13#13.15 (ДЗ)Не решено

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;
– суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны.

Найдите $r$, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 12,6 млн рублей.

Ответ

Ответ20

Решение

Пусть $k = 1 + \frac{r}{100}$. Разберём платежи по годам (суммы в млн руб.).

Годы	Что происходит	Платёж
2027, 2028, 2029	Долг после июльской выплаты остаётся $6{,}6$, значит платят только набежавшие проценты	$6{,}6(k - 1)$ каждый год
2030	Долг $6{,}6k$, платят $x$, остаток $6{,}6k - x$	$x$
2031	Остаток $k(6{,}6k - x)$ погашается тем же платежом $x$	$x$

Из последнего: $(6{,}6k - x)k = x$, откуда $x = \dfrac{6{,}6k^2}{k+1}$.

Всего выплачено $19{,}8(k - 1) + 2x = 12{,}6$, то есть $19{,}8(k - 1) + \dfrac{13{,}2k^2}{k+1} = 12{,}6$.

Умножим на $k+1$: $19{,}8(k-1)(k+1) + 13{,}2k^2 = 12{,}6(k+1)$, то есть $33k^2 - 12{,}6k - 32{,}4 = 0$, или $55k^2 - 21k - 54 = 0$.
Дискриминант $D = 441 + 11\,880 = 12\,321 = 111^2$, $k = \dfrac{21 \pm 111}{110}$.

Условию подходит $k = 1{,}2$ (другой корень отрицателен), значит $r = 20$.

Ответ: 20.

Задание 13 №7260 — ЕГЭ по профильной математике

Похожие задания