Задание 13. Экономическая задача (кредиты, вклады, оптимизация)

Задание 13. Экономическая задача (кредиты, вклады, оптимизация) — №7259, ЕГЭ по профильной математике

Задание 13#13.15Не решено

В июле 2026 года планируется взять кредит в размере 630 тыс. рублей. Условия возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 630 тыс. рублей;
– суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны;
– к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите $r$, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 915 тыс. рублей.

Ответ

Ответ10

Решение

Пусть $k = 1 + \frac{r}{100}$. Разберём платежи по годам (суммы в тыс. руб.).

Годы	Что происходит	Платёж
2027, 2028, 2029	Долг после июльской выплаты остаётся $630$, значит платят только набежавшие проценты	$630(k - 1)$ каждый год
2030	Долг $630k$, платят $x$, остаток $630k - x$	$x$
2031	Остаток $k(630k - x)$ погашается тем же платежом $x$	$x$

Из последнего: $(630k - x)k = x$, откуда $x = \dfrac{630k^2}{k+1}$.

Всего выплачено $1890(k - 1) + 2x = 915$, то есть $1890(k - 1) + \dfrac{1260k^2}{k+1} = 915$.

Умножим на $k+1$: $1890(k-1)(k+1) + 1260k^2 = 915(k+1)$, то есть $3150k^2 - 915k - 2805 = 0$, или $210k^2 - 61k - 187 = 0$.
Дискриминант $D = 3721 + 157\,080 = 160\,801 = 401^2$, $k = \dfrac{61 \pm 401}{420}$.

Условию подходит $k = 1{,}1$ (другой корень отрицателен), значит $r = 10$.

Ответ: 10.

Задание 13 №7259 — ЕГЭ по профильной математике

Похожие задания