Задание 3 №495 — ЕГЭ по профильной математике

Треугольник $AC_1C$ прямоугольный с прямым углом при $C$ ($CC_1\perp$ основанию, $AC$ лежит в основании). Вершины $A$ и $C$ разделены одной вершиной $B$, центральный угол $AOC=120^{\circ}$, поэтому хорда $AC=2a\sin60^{\circ}=a\sqrt3=\sqrt3$ (радиус описанной окружности равен стороне $a=1$).

По Пифагору $AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{3+1}=2$. Косинус угла при $C_1$ — отношение прилежащего катета $CC_1$ к гипотенузе: $\cos\angle AC_1C=\dfrac{CC_1}{AC_1}=\dfrac12$, значит угол $60^{\circ}$.

Ответ: 60.