Задание 3 №493 — ЕГЭ по профильной математике

Ищем тангенс угла $AD_1D$ в треугольнике $ADD_1$. Угол при $D$ прямой ($DD_1$ — боковое ребро, перпендикулярное плоскости основания, значит $DD_1\perp DA$).

Проекция диагонали $AD_1$ на основание есть $AD$. Вершины $A$ и $D$ правильного шестиугольника противоположны (между ними три стороны), поэтому $AD$ — диаметр описанной окружности: $AD=2a=2$ (радиус правильного шестиугольника равен стороне). По Пифагору $AD_1=\sqrt{AD^2+DD_1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt5$.

$\operatorname{tg}\angle AD_1D=\dfrac{AD}{DD_1}=\dfrac{2}{1}=2$.

Ответ: 2.