Задание 3 №471 — ЕГЭ по профильной математике

$AA_1$ — вертикальное ребро. Прямая $BC_1$: её проекция на основание есть $BC$, а вертикальная составляющая $CC_1$. По Пифагору $BC_1=\sqrt{BC^2+CC_1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2$ (рёбра по 1).

Косинус угла между $AA_1$ (вертикаль) и $BC_1$ равен отношению вертикальной составляющей к длине: $\cos\alpha=\dfrac{CC_1}{BC_1}=\dfrac{1}{\sqrt2}\Rightarrow\alpha=45^{\circ}$.

Ответ: 45.