Задание 3 №469 — ЕГЭ по профильной математике

Пусть сторона основания $a$, боковое ребро $h$. Диагональ призмы: $BD_1^2=AB^2+AD^2+AA_1^2=2a^2+h^2$. По условию $BD_1=2a$, значит $2a^2+h^2=4a^2$ и $h=a\sqrt2$.

Диагонали $DB_1$ и $CA_1$ равны (каждая $\sqrt{2a^2+h^2}=2a$) и пересекаются в центре. Вычислим угол через скалярное произведение, взяв вершины $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A_1(0;0;a\sqrt2)$, $B_1(a;0;a\sqrt2)$:

$\vec{CA_1}=(-a;-a;a\sqrt2)$, $\vec{DB_1}=(a;-a;a\sqrt2)$; произведение $=-a^2+a^2+2a^2=2a^2$; длины $|CA_1|=|DB_1|=\sqrt{a^2+a^2+2a^2}=2a$.

$\cos\varphi=\dfrac{2a^2}{2a\cdot2a}=\dfrac12\Rightarrow\varphi=60^{\circ}$.

Ответ: 60.