Задание 3 №445 — ЕГЭ по профильной математике

$AB\perp AD$ и $AB\perp AA_1$, значит $AB$ перпендикулярна плоскости $ADD_1A_1$ и, в частности, $AB\perp AD_1$: треугольник $ABD_1$ прямоугольный с прямым углом $A$.

Гипотенуза: $BD_1^2=AB^2+AD^2+AA_1^2=25+16+9=50$ (дважды Пифагор: $AD_1^2=4^2+3^2=25$, затем $BD_1^2=5^2+5^2=50$), $BD_1=5\sqrt2$.

$\cos\angle ABD_1=\dfrac{AB}{BD_1}=\dfrac{5}{5\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}$, значит угол $45^{\circ}$.

Ответ: 45.