Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$ так, что $\angle BAC+\angle AKC=90^{\circ}$.
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ можно вписать в окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника $KBC$, равен 26, а $\cos\angle BAC=\dfrac{5}{13}$.
Решение
а) Пусть $\angle BAC=\alpha$, тогда $\angle BOC=2\alpha$. Треугольник $BOC$ равнобедренный, поэтому $\angle OBC=\angle OCB=90^{\circ}-\alpha$.
Из условия $\angle BAC+\angle AKC=90^{\circ}$ следует, что $\angle AKC=90^{\circ}-\alpha$. Получается, что углы $OBC$ и $AKC$ равны, а эти углы опираются на отрезок $OC$. Значит, точки $O$, $B$, $K$, $C$ лежат на одной окружности, а отрезок $OC$ является её хордой.
б) Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $\dfrac{BC}{2\sin\angle BAC}=\dfrac{BC}{2\sin\alpha}$.
Радиус окружности $r$, проходящей через точки $O$, $B$, $K$, $C$ равен $\dfrac{BC}{2\sin\angle BOC}=\dfrac{BC}{2\sin 2\alpha}$.
Получается, что $R=\dfrac{2\sin 2\alpha\cdot r}{2\sin\alpha}=20$.
Ответ: б) 20.