Решите неравенство $\dfrac{3}{x-4\sqrt{x+8}+12}\geqslant\dfrac{1}{x-5\sqrt{x+8}+14}$.
Решение
Преобразуем неравенство:
$$\dfrac{3}{(x+8)-4\sqrt{x+8}+4}-\dfrac{1}{(x+8)-5\sqrt{x+8}+6}\geqslant 0,$$
$$\dfrac{3}{\left(\sqrt{x+8}-2\right)^2}-\dfrac{1}{\left(\sqrt{x+8}-3\right)\left(\sqrt{x+8}-2\right)}\geqslant 0,$$
$$\dfrac{2\sqrt{x+8}-7}{\left(\sqrt{x+8}-2\right)^2\left(\sqrt{x+8}-3\right)}\geqslant 0.$$
Неравенство равносильно совокупности:
$$\left[\begin{array}{l}0\leqslant\sqrt{x+8} \lt 2,\\ 2 \lt \sqrt{x+8} \lt 3,\\ \sqrt{x+8}\geqslant 3{,}5;\end{array}\right.\quad \left[\begin{array}{l}0\leqslant x+8 \lt 4,\\ 4 \lt x+8 \lt 9,\\ x+8\geqslant 12{,}25;\end{array}\right.\quad \left[\begin{array}{l}-8\leqslant x \lt -4,\\ -4 \lt x \lt 1,\\ x\geqslant 4{,}25.\end{array}\right.$$
Следовательно, $x\in[-8;\,-4)\cup(-4;\,1)\cup[4{,}25;\,+\infty)$.
Ответ: $[-8;\,-4)\cup(-4;\,1)\cup[4{,}25;\,+\infty)$.