а) Решите уравнение $\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)\left(\sin 2x-\sqrt{2}\sin x\right)=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{4};\,\dfrac{7\pi}{4}\right]$.
Решение
а) Уравнение равносильно совокупности:
$$\left[\begin{array}{l}\cos^2 x-3\sin^2 x=0\\ \sin 2x-\sqrt{2}\sin x=0;\end{array}\right.\quad \left[\begin{array}{l}1-3\operatorname{tg}^2 x=0,\\ \sin x=0,\\ 2\cos x-\sqrt{2}=0;\end{array}\right.\quad \left[\begin{array}{l}\operatorname{tg} x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}},\\ \sin x=0,\\ \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2};\end{array}\right.\quad \left[\begin{array}{l}x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z},\\ x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\ x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb{Z}.\end{array}\right.$$
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{4};\,\dfrac{7\pi}{4}\right]$.
Получим числа: $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{5\pi}{6}$, $\pi$, $\dfrac{7\pi}{6}$, $\dfrac{7\pi}{4}$.
Ответ: а) $\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$; $\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; $\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$; б) $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{5\pi}{6}$, $\pi$, $\dfrac{7\pi}{6}$, $\dfrac{7\pi}{4}$.