Задание 20 №4010 — ЕГЭ по профильной математике

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a;\,b)$ получается пара $(2a+b;\,2b-a)$.

а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5;\,5)$?

б) Верно ли, что если пара $(c;\,d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d;\,c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a;\,b)$ и $(c;\,d)$ выражением $|a-c|+|b-d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(7;\,2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a;\,b)$ получается пара $(3a-b;\,3b+a)$.

а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5;\,5)$?

б) Верно ли, что если пара $(c;\,d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(d;\,-c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a;\,b)$ и $(c;\,d)$ выражением $|a-c|+|b-d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(2;\,9)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a;\,b)$ получается пара $(2a-b;\,2b+a)$.

а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5;\,5)$?

б) Верно ли, что если пара $(c;\,d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(d;\,-c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a;\,b)$ и $(c;\,d)$ выражением $|a-c|+|b-d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(2;\,7)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a;\,b)$ получается пара $(2a+3b;\,2b-3a)$.

а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5;\,5)$?

б) Верно ли, что если пара $(c;\,d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d;\,c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a;\,b)$ и $(c;\,d)$ выражением $|a-c|+|b-d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(5;\,1)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.