В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC$ равен $\sqrt3$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Ответ:3
Разложим $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$. Тогда $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Угол при вершине $C$ прямой, поэтому $\overrightarrow{CB}\perp\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$. Значит $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=|AC|^2$ — длина второго катета для этого не нужна.
$|AC|^2=(\sqrt3)^2=3$.
Ответ: 3.