Задание 16 №2327 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0$ при любом $x$ (значение всегда $\ge1$).

Знак $3^{4x-x^2-3}-1$ совпадает со знаком показателя $4x-x^2-3=-(x-1)(x-3)$: неотрицателен при $1\le x\le3$.

Так как $x^2-4x+5\ge1$ всегда, аргумент второго логарифма $\ge1$, а основание $\dfrac12<1$ — значит $\log_{1/2}(x^2-4x+5)\le0$ всегда, с равенством только при $x^2-4x+5=1$, то есть $x=2$.

Если $x\neq2$, второй множитель строго отрицателен, и для произведения $\ge0$ нужен неположительный первый множитель:

$4x-x^2-3\le0$

$(x-1)(x-3)\ge0$

$x\le1$

или $x\ge3$. При $x=2$ произведение равно $0$ независимо от первого множителя.

Ответ: $x\in(-\infty;1]\cup\{2\}\cup[3;+\infty)$.