ОДЗ:
$4^{x^2+2x+2}-3>0$. Так как $x^2+2x+2=(x+1)^2+1\ge1$ при любом $x$, то $4^{x^2+2x+2}\ge4$, значит $4^{x^2+2x+2}-3\ge1>0$ — ОДЗ выполняется при любом $x$.
Знак $4^{x^2-x-6}-1$ совпадает со знаком показателя:
$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.
Для второго множителя:
$4^{x^2+2x+2}-3\ge1$ всегда (см. выше), поэтому аргумент логарифма $\ge1$; при основании $0{,}25<1$ это означает $\log_{0{,}25}(\ldots)\le0$ всегда, причём равенство только при $x^2+2x+2=1$, то есть $x=-1$.
Произведение неположительного множителя (второй логарифм) и первого множителя: если второй множитель $<0$ (то есть $x\neq-1$), нужно, чтобы первый множитель был $\ge0$, то есть $(x-3)(x+2)\ge0$
$x\le-2$ или $x\ge3$; при $x=-1$ произведение равно $0$ независимо от первого множителя.
Ответ: $x\in(-\infty;-2]\cup\{-1\}\cup[3;+\infty)$.