Решите неравенство $\frac{\log_2(8x) \cdot \log_3(27x)}{x^2 - |x|} \le 0$
Решение
ОДЗ:
$x>0$ (из $8x>0$; условие $27x>0$ выполняется автоматически), $x^2-|x|\neq0$
$x\neq1$ (при $x>0$ это единственное исключение помимо $x\neq0$, уже учтённого).
$\log_2(8x)=3+\log_2x$, $\log_3(27x)=3+\log_3x$; знаменатель при $x>0$ равен $x(x-1)$.
Числитель обращается в $0$ при $x=\dfrac18$ (где $3+\log_2x=0$) и при $x=\dfrac1{27}$ (где $3+\log_3x=0$); эти точки упорядочены как $\dfrac1{27}<\dfrac18<1$.
Проверка знаков по промежуткам: на $\left(0;\frac1{27}\right)$ оба множителя числителя отрицательны (числитель $>0$), знаменатель $<0$ — дробь $<0$, подходит. На $\left(\frac1{27};\frac18\right)$ числитель меняет знак на отрицательный (дробь $>0$, не подходит). На $\left(\frac18;1\right)$ числитель снова положителен, знаменатель по-прежнему $<0$ (дробь $<0$, подходит). На $(1;+\infty)$ числитель положителен, знаменатель $>0$ (дробь $>0$, не подходит).
Ответ: $x\in\left(0;\dfrac1{27}\right]\cup\left[\dfrac18;1\right)$.