Решите неравенство $\frac{2x^2 + 9x + 7}{\log_3(x^2 + 6x + 9)} \ge 0$
Решение
ОДЗ:
$(x+3)^2>0$ ($x\neq-3$), $(x+3)^2\neq1$ ($x\neq-2,-4$).
Рационализация знаменателя:
$\log_3(x+3)^2$ имеет тот же знак, что $2\big[(x+3)^2-1\big]=2(x+2)(x+4)$. Значит знак всей дроби совпадает со знаком $(2x^2+9x+7)\cdot(x+2)(x+4)=(2x+7)(x+1)(x+2)(x+4)$.
+ - + + - +
◂───────○──────────●──────────○─────────○─────────●───────▸
-4 -3.5 -3 -2 -1 Решение ($\ge0$):
$x\in(-\infty;-4)\cup[-3{,}5;-3)\cup(-3;-2)\cup[-1;+\infty)$.
Учитываем выколотые точки ОДЗ ($x=-3,-2,-4$ — уже отражены разбиением).
Ответ: $x\in(-\infty;-4)\cup[-3{,}5;-3)\cup(-3;-2)\cup[-1;+\infty)$.