Задание 16 №2320 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x\neq0$, $x+6>0$.

Аналогично:

$\log_{0{,}2}(x+6)=-\log_5(x+6)$, значит $\left(\frac12\right)^{\log_{0{,}2}(x+6)}=2^{\log_5(x+6)}$, и правая часть равна $2^{1+\log_5(x+6)}$.

Левая часть:

$2^{\log_5x^2}=2^{2\log_5|x|}$, а $|x|^{\log_54}=4^{\log_5|x|}=2^{2\log_5|x|}$ — то же слагаемое. Левая часть равна $2\cdot2^{2\log_5|x|}=2^{1+2\log_5|x|}$.

Неравенство равносильно

$2\log_5|x|\le\log_5(x+6)$

$x^2\le x+6$

$x^2-x-6\le0$

$(x-3)(x+2)\le0$

$-2\le x\le3$.

Пересекаем с ОДЗ $x\neq0$.

Ответ: $x\in[-2;0)\cup(0;3]$.