Задание 16 №2319 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x\neq0$, $2x+3>0$.

Упрощаем правую часть:

$\log_{0{,}5}(2x+3)=-\log_2(2x+3)$, поэтому $\left(\frac13\right)^{\log_{0{,}5}(2x+3)}=3^{\log_2(2x+3)}$, и правая часть равна $3^{1+\log_2(2x+3)}$.

Левая часть:

$3^{\log_2x^2}=3^{2\log_2|x|}$; а $|x|^{\log_29}=9^{\log_2|x|}=3^{2\log_2|x|}$ — то же самое слагаемое! Значит левая часть равна $3\cdot3^{2\log_2|x|}=3^{1+2\log_2|x|}$.

Неравенство $3^{1+2\log_2|x|}\le3^{1+\log_2(2x+3)}$ равносильно (основание $3>1$)

$2\log_2|x|\le\log_2(2x+3)$

$\log_2x^2\le\log_2(2x+3)$

$x^2\le2x+3$.

$x^2-2x-3\le0$

$(x-3)(x+1)\le0$

$-1\le x\le3$. Пересекаем с ОДЗ $x\neq0$.

Ответ: $x\in[-1;0)\cup(0;3]$.