Задание 16 №2294 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$h=x^2-8x+17>0$ всегда (дискриминант отрицателен),

$h\neq1$

$(x-4)^2\neq0$

$x\neq4$

$2x^2+7x+5=(2x+5)(x+1)>0$

$x<-2{,}5$ или $x>-1$.

Как и в аналогичной задаче, левая часть $2\log_{h^2}(3x^2+5)$ равна $\log_h(3x^2+5)$. Неравенство $\log_h(3x^2+5)\le\log_h(2x^2+7x+5)$; рационализация:

$(x-4)^2\cdot\big[(3x^2+5)-(2x^2+7x+5)\big]\le0$

$(x-4)^2\cdot x(x-7)\le0$.

Множитель $(x-4)^2\ge0$ не влияет на знак (точка $x=4$ уже исключена ОДЗ). Нужно $x(x-7)\le0$

$0\le x\le7$.

Пересекаем с ОДЗ ($x\neq4$; условие $x>-1$ для второго аргумента выполняется на $[0;7]$ автоматически).

Ответ: $x\in[0;4)\cup(4;7]$.