Решите неравенство $2\log_{(x^2 - 4x + 5)^2}(4x^2 + 1) \le \log_{x^2 - 4x + 5}(3x^2 + 4x + 1)$
Решение
ОДЗ:
$h=x^2-4x+5>0$ всегда (дискриминант отрицателен),
$h\neq1$
$(x-2)^2\neq0$
$x\neq2$
$3x^2+4x+1=(3x+1)(x+1)>0$
$x<-1$ или $x>-\frac13$.
Так как $\log_{h^2}(4x^2+1)=\dfrac{\log_h(4x^2+1)}{\log_hh^2}=\dfrac{\log_h(4x^2+1)}2$, левая часть $2\log_{h^2}(4x^2+1)$ в точности равна $\log_h(4x^2+1)$.
Неравенство $\log_h(4x^2+1)\le\log_h(3x^2+4x+1)$; рационализация:
$(h-1)\big[(4x^2+1)-(3x^2+4x+1)\big]\le0$
$(x-2)^2\cdot x(x-4)\le0$ (так как $h-1=(x-2)^2$, а разность в скобках $=x^2-4x=x(x-4)$).
Множитель $(x-2)^2\ge0$ не влияет на знак (точка $x=2$ уже исключена ОДЗ). Нужно $x(x-4)\le0$
$0\le x\le4$.
Пересекаем с ОДЗ ($x\neq2$; условие $x^2+4x... $ для аргумента справа выполняется на $[0;4]$ автоматически, так как $0>-\frac13$).
Ответ: $x\in[0;2)\cup(2;4]$.