Задание 16 №2289 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x-3>0$, $\neq1$, $\dfrac x{10}>0$, то есть $x>3$, $x\neq4$; также $\log_{x-3}\dfrac x{10}\neq0$, то есть $x\neq10$.

Как и в аналогичной задаче: неравенство равносильно $(hf-1)(f-1)\ge0$ с $h=x-3$, $f=\dfrac x{10}$.

$hf-1=\dfrac{x(x-3)}{10}-1=\dfrac{(x-5)(x+2)}{10}$; $f-1=\dfrac{x-10}{10}$. Произведение:

$(x-5)(x+2)(x-10)\ge0$.

  +       -         +  
 ──────●────────○───────▸
       5       10       

Решение:

$x\in(3;5]\cup(10;+\infty)$.

Исключаем $x=4$.

Ответ: $x\in(3;4)\cup(4;5]\cup(10;+\infty)$.