Задание 16 №2288 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x-1>0$, $x-1\neq1$, $\dfrac x6>0$, то есть $x>1$, $x\neq2$; также нужно $\log_{x-1}\dfrac x6\neq0$, то есть $x\neq6$.

$\dfrac1{\log_hf}+1\ge0$

$\dfrac{1+\log_hf}{\log_hf}\ge0$

$\dfrac{\log_h(hf)}{\log_hf}\ge0$

($h=x-1$, $f=\frac x6$). Рационализируя числитель и знаменатель по отдельности и учитывая, что общий множитель $(h-1)$ в знаке сокращается: неравенство равносильно $(hf-1)(f-1)\ge0$.

$hf-1=\dfrac{x(x-1)}6-1=\dfrac{x^2-x-6}6=\dfrac{(x-3)(x+2)}6$; $f-1=\dfrac{x-6}6$. Произведение:

$\dfrac{(x-3)(x+2)(x-6)}{36}\ge0$

$(x-3)(x+2)(x-6)\ge0$.

  +       -       +  
 ──────●───────○──────▸
       3       6      

Проверка: при $x=2$ — $(-1)(4)(-4)=16>0$; при $x=4$ — $(1)(6)(-2)=-12<0$; при $x=7$ — $(4)(9)(1)=36>0$. Решение:

$x\in(1;3]\cup(6;+\infty)$.

Исключаем $x=2$ и $x=6$ (последнее уже вне решения).

Ответ: $x\in(1;2)\cup(2;3]\cup(6;+\infty)$.