Решите неравенство $\log_{0{,}25(x + 1)^2}\left(\frac{x + 7}{4}\right) \le 1$
Решение
ОДЗ:
$0{,}25(x+1)^2>0$, $\neq1$ (то есть $x\neq-1$, $x\neq1$, $x\neq-3$), $\dfrac{x+7}4>0$ (то есть $x>-7$).
Рационализация:
$\left(0{,}25(x+1)^2-1\right)\left(\dfrac{x+7}4-0{,}25(x+1)^2\right)\le0$.
$0{,}25(x+1)^2-1=\dfrac{(x+1)^2-4}4=\dfrac{(x-1)(x+3)}4$; $\dfrac{x+7}4-0{,}25(x+1)^2=\dfrac{(x+7)-(x+1)^2}4=\dfrac{-(x+3)(x-2)}4$.
Произведение:
$-\dfrac{(x-1)(x+3)^2(x-2)}{16}\le0$
$(x-1)(x+3)^2(x-2)\ge0$.
Множитель $(x+3)^2\ge0$ не влияет на знак (точка $x=-3$ уже исключена ОДЗ). Нужно $(x-1)(x-2)\ge0$
$x\le1$ или $x\ge2$.
Пересекаем с ОДЗ ($x>-7$, $x\neq-3,-1,1$): из $x\le1$ получаем $(-7;-3)\cup(-3;-1)\cup(-1;1]$; $x\ge2$ остаётся целиком.
Ответ: $x\in(-7;-3)\cup(-3;-1)\cup(-1;1]\cup[2;+\infty)$.