Решите неравенство $\log_{0{,}25x^2}\left(\frac{x + 12}{4}\right) \le 1$
Самопроверка
Решение
ОДЗ:
$0{,}25x^2>0$, $0{,}25x^2\neq1$, $\dfrac{x+12}4>0$, то есть $x\neq0$, $x\neq\pm2$, $x>-12$.
Рационализация ($\log_hf-1\to(h-1)(f-h)$):
$\left(0{,}25x^2-1\right)\left(\dfrac{x+12}4-0{,}25x^2\right)\le0$.
$0{,}25x^2-1=\dfrac{(x-2)(x+2)}4$; $\dfrac{x+12}4-0{,}25x^2=\dfrac{-(x-4)(x+3)}4$. Произведение:
$-\dfrac{(x-2)(x+2)(x-4)(x+3)}{16}\le0$
$(x-2)(x+2)(x-4)(x+3)\ge0$.
+ - + - +
◂───────●─────────●────────●───────●──────▸
-3 -2 2 4 Решение:
$x\in(-\infty;-3]\cup[-2;2]\cup[4;+\infty)$.
Пересекаем с ОДЗ ($x>-12$, $x\neq0,\pm2$): из $(-\infty;-3]$ остаётся $(-12;-3]$; из $[-2;2]$ остаётся $(-2;0)\cup(0;2)$ (концы $\pm2$ выколоты); $[4;+\infty)$ остаётся целиком.
Ответ: $x\in(-12;-3]\cup(-2;0)\cup(0;2)\cup[4;+\infty)$.