Задание 16 №2284 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x+1>0$, $x+1\neq1$, $x-1>0$ (тогда и $x+2>0$), то есть $x>1$ (условие $x\neq0$ выполняется автоматически).

Рационализация:

$\log_{x+1}(x-1)\to x(x-2)$; $\log_{x+1}(x+2)\to x(x+1)$. Произведение того же знака, что $x(x-2)\cdot x(x+1)=x^2(x-2)(x+1)$.

На ОДЗ $x>1$, значит $x^2>0$ всегда; неравенство $\le0$ равносильно $(x-2)(x+1)\le0$

$-1\le x\le2$.

Пересекаем с ОДЗ $x>1$.

Ответ: $x\in(1;2]$.