Задание 16 №2283 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x>0$, $x\neq1$, $x-2>0$ (тогда и $x+2>0$), то есть $x>2$.

Рационализация каждого множителя:

$\log_x(x-2)\to(x-1)(x-3)$; $\log_x(x+2)\to(x-1)(x+1)$.

Произведение того же знака, что и $(x-1)(x-3)\cdot(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x-3)(x+1)$; неравенство $\le0$ на ОДЗ:

$(x-1)^2(x-3)(x+1)\le0$.

Множитель $(x-1)^2\ge0$ не влияет на знак (на ОДЗ $x>2$, эта точка исключена и без того). Значит нужно $(x-3)(x+1)\le0$

$-1\le x\le3$.

Пересекаем с ОДЗ $x>2$.

Ответ: $x\in(2;3]$.