Решите неравенство $(4x + 13) \cdot \log_{x^2 + 6x + 10}(3x + 10) \ge 0$
Решение
ОДЗ: основание $x^2+6x+10$ всегда положительно (дискриминант отрицателен);
$x^2+6x+10\neq1$
$(x+3)^2\neq0$
$x\neq-3$; аргумент $3x+10>0$
$x>-\dfrac{10}3$.
$x^2+6x+10-1=(x+3)^2>0$ при $x\neq-3$ — основание строго больше $1$ на всей ОДЗ. Знак $\log_{\ldots}(3x+10)$ совпадает со знаком $3x+10-1=3x+9=3(x+3)$: отрицателен при $x<-3$, положителен при $x>-3$.
Множитель $4x+13$ равен нулю при $x=-3{,}25$, отрицателен левее, положителен правее.
На $\left(-\frac{10}3;-3{,}25\right)$ оба множителя отрицательны (так как $x<-3$) — произведение положительно, подходит. На $(-3{,}25;-3)$ множители разных знаков — произведение отрицательно, не подходит. При $x=-3{,}25$ произведение равно $0$ — подходит. На $(-3;+\infty)$ оба множителя положительны — подходит.
Ответ: $x\in\left(-\dfrac{10}3;-3{,}25\right]\cup(-3;+\infty)$.