Решите неравенство $(4x - 7) \cdot \log_{x^2 - 4x + 5}(3x - 5) \ge 0$
Решение
ОДЗ: основание $x^2-4x+5$ всегда положительно (дискриминант отрицателен);
$x^2-4x+5\neq1$
$(x-2)^2\neq0$
$x\neq2$; аргумент $3x-5>0$
$x>\dfrac53$.
Заметим:
$x^2-4x+5-1=(x-2)^2>0$ при любом $x\neq2$ — значит основание строго больше $1$ на всей ОДЗ. Поэтому знак $\log_{x^2-4x+5}(3x-5)$ совпадает со знаком $(3x-5)-1=3x-6=3(x-2)$: отрицателен при $\frac53<x<2$, положителен при $x>2$.
Множитель $4x-7$ обращается в нуль при $x=1{,}75$, отрицателен левее, положителен правее.
На $\left(\frac53;1{,}75\right)$ оба множителя отрицательны — произведение положительно, подходит. На $(1{,}75;2)$ множители разных знаков — произведение отрицательно, не подходит. При $x=1{,}75$ произведение равно $0$ — подходит. На $(2;+\infty)$ оба положительны — подходит.
Ответ: $x\in\left(\dfrac53;1{,}75\right]\cup(2;+\infty)$.