Решите неравенство $\log_{2x} 0{,}25 \le \log_2 32x - 1$
Самопроверка
Решение
ОДЗ:
$2x>0$, $2x\neq1$, то есть $x>0$, $x\neq0{,}5$.
$\log_{2x}0{,}25=\dfrac{\log_20{,}25}{\log_2(2x)}=\dfrac{-2}{1+\log_2x}$. Правая часть:
$\log_2(32x)-1=5+\log_2x-1=4+\log_2x$. Замена $t=\log_2x$ ($t\neq-1$): неравенство $-\dfrac2{t+1}\le4+t$.
Переносим влево:
$-\dfrac2{t+1}-4-t\le0$
$\dfrac{-2-(4+t)(t+1)}{t+1}\le0$
$\dfrac{-t^2-5t-6}{t+1}\le0$
$\dfrac{(t+2)(t+3)}{t+1}\ge0$.
- + - +
◂───────●─────────●─────────○───────▸
-3 -2 -1 Решение:
$-3\le t\le-2$ или $t>-1$.
$\log_2x\in[-3;-2]$
$\dfrac18\le x\le\dfrac14$
$\log_2x>-1$
$x>0{,}5$.
Ответ: $x\in\left[\dfrac18;\dfrac14\right]\cup(0{,}5;+\infty)$.