Решите неравенство $-2\log_{\frac{x}{3}} 27 \ge \log_3 27x + 1$
Самопроверка
Решение
ОДЗ:
$\dfrac x3>0$, $\dfrac x3\neq1$, то есть $x>0$, $x\neq3$.
Переходим к основанию $3$:
$\log_{x/3}27=\dfrac{\log_327}{\log_3(x/3)}=\dfrac{3}{\log_3x-1}$. Замена $t=\log_3x$ ($t\neq1$): неравенство $-\dfrac{6}{t-1}\ge t+4$.
Переносим влево:
$-\dfrac6{t-1}-t-4\ge0$
$\dfrac{-6-(t+4)(t-1)}{t-1}\ge0$
$\dfrac{-t^2-3t-2}{t-1}\ge0$
$\dfrac{(t+1)(t+2)}{t-1}\le0$.
- + - +
◂───────●─────────●────────○──────▸
-2 -1 1 Решение:
$t\le-2$ или $-1\le t<1$.
$\log_3x\le-2$
$0<x\le\dfrac19$
$-1\le\log_3x<1$
$\dfrac13\le x<3$.
Ответ: $x\in\left(0;\dfrac19\right]\cup\left[\dfrac13;3\right)$.