Задание 16 №2269 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x+2>0$ и $x<0$, значит $-2<x<0$.

При $x+2>0$:

$\log_5(x+2)^2=2\log_5(x+2)$. Обозначим $t=\log_5(x+2)$, $u=\log_2(-x)$; тогда $\log_{1/2}x^2=2\log_{1/2}(-x)=-2u$.

Как и в аналогичной задаче: неравенство $2t(-2u)-4t+4u+4\le0$ равносильно $(t-1)(u+1)\ge0$.

На ОДЗ $x+2\in(0;2)$, откуда $t=\log_5(x+2)<\log_52<1$ — множитель $t-1$ всегда отрицателен. Значит нужно $u+1\le0$.

$\log_2(-x)\le-1$

$-x\le\dfrac12$

$x\ge-\dfrac12$. Пересекаем с ОДЗ.

Ответ: $x\in\left[-\dfrac12;0\right)$.