Задание 16 №2268 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x+1>0$ (из отдельного слагаемого $\log_2(x+1)$), $x<0$ (из $\log_3(-x)$); значит $-1<x<0$ (это же обеспечивает $x^2>0$).

При $x+1>0$:

$\log_2(x+1)^2=2\log_2(x+1)$. Обозначим $t=\log_2(x+1)$, $u=\log_3(-x)$; тогда $\log_{1/3}x^2=2\log_{1/3}(-x)=2\cdot\dfrac{u}{\log_3(1/3)}=-2u$.

Неравенство:

$2t\cdot(-2u)-4t+4u+4\le0$

$-4tu-4t+4u+4\le0$

$tu+t-u-1\ge0$

$(t-1)(u+1)\ge0$.

На ОДЗ $-1<x<0$ имеем $x+1\in(0;1)$, откуда $t=\log_2(x+1)<0<1$, то есть множитель $t-1$ всегда отрицателен. Значит нужно $u+1\le0$, то есть $u\le-1$.

$\log_3(-x)\le-1$

$-x\le\dfrac13$

$x\ge-\dfrac13$. Пересекаем с ОДЗ.

Ответ: $x\in\left[-\dfrac13;0\right)$.