Задание 16 №2264 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$2-\dfrac2x>0$, $x+3>0$, $\dfrac{x+3}{x^2}>0$. Первое даёт $x>1$ или $x<0$; вместе с $x+3>0$ ($x>-3$) получаем $x\in(-3;0)\cup(1;+\infty)$.

Неравенство равносильно $\dfrac{2-\frac2x}{x+3}\ge\dfrac{x+3}{x^2}$. Переносим влево, общий знаменатель $x^2(x+3)$:

$\dfrac{x^2-8x-9}{x^2(x+3)}\ge0$

$\dfrac{(x-9)(x+1)}{x^2(x+3)}\ge0$.

На $(-3;0)$: знаменатель $x^2(x+3)>0$, значит нужно $(x-9)(x+1)\ge0$ — на этом промежутке верно при $x\le-1$, то есть $(-3;-1]$.

На $(1;+\infty)$: знаменатель тоже $>0$, нужно $(x-9)(x+1)\ge0$ — на этом промежутке верно при $x\ge9$, то есть $[9;+\infty)$.

Ответ: $x\in(-3;-1]\cup[9;+\infty)$.