Задание 16 №2263 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ: аргументы всех логарифмов положительны. $\dfrac3x+2>0$ и $x+2>0$ и $\dfrac{x+1}{x^2}>0$ — совместно эти условия дают $x>0$ (случай $x<-\frac32$ отбрасывается требованием $x+1>0$).

Неравенство $\log_5\left(\dfrac3x+2\right)-\log_5(x+2)\le\log_5\dfrac{x+1}{x^2}$ (основание $5>1$) равносильно $\dfrac{\frac3x+2}{x+2}\le\dfrac{x+1}{x^2}$.

Переносим и приводим к общему знаменателю $x^2(x+2)$:

$\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}\le0$. При $x>0$ знаменатель $x^2(x+2)>0$, значит нужно $x^2-2\le0$

$-\sqrt2\le x\le\sqrt2$.

Пересекаем с ОДЗ $x>0$.

Ответ: $x\in(0;\sqrt2]$.