Задание 16 №2261 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x>0$, $\log_3x\neq0$, $\log_3x\neq-4$. Замена $t=\log_3x$:

$\log_3(9x)=2+t$, $\log_3x^4=4t$, знаменатель $t^2+4t=t(t+4)$.

Неравенство

$\dfrac{2+t-13}{t(t+4)}\le1$

$\dfrac{t-11-t^2-4t}{t(t+4)}\le0$

$\dfrac{-t^2-3t-11}{t(t+4)}\le0$

$\dfrac{t^2+3t+11}{t(t+4)}\ge0$.

Дискриминант $t^2+3t+11$ равен $9-44<0$, значит числитель всегда положителен; знак определяется знаменателем:

$t(t+4)>0$

$t<-4$ или $t>0$.

$\log_3x<-4$

$0<x<\dfrac1{81}$

$\log_3x>0$

$x>1$.

Ответ: $x\in\left(0;\dfrac1{81}\right)\cup(1;+\infty)$.