ОДЗ:
$x>0$, $\log_4x\neq\pm3$. Замена $t=\log_4x$:
$\log_4(16x^4)=2+4t$. Неравенство
$\dfrac{2+4t+11}{t^2-9}\ge-1$
$\dfrac{4t+13+t^2-9}{t^2-9}\ge0$
$\dfrac{(t+2)^2}{(t-3)(t+3)}\ge0$.
Нужно $(t-3)(t+3)>0$ (то есть $t<-3$ или $t>3$), либо $t=-2$ (дробь $=0$).
$\log_4x<-3$
$0<x<\dfrac1{64}$
$\log_4x=-2$
$x=\dfrac1{16}$
$\log_4x>3$
$x>64$.
Ответ: $x\in\left(0;\dfrac1{64}\right)\cup\left\{\dfrac1{16}\right\}\cup(64;+\infty)$.