Задание 16 №2253 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x>0$. Замена $t=\log_2x$: неравенство $(t^2-2t)^2+36t+45<18t^2$, то есть $t^4-4t^3+4t^2+36t+45-18t^2<0$

$t^4-4t^3-14t^2+36t+45<0$.

Подбором корней ($t=3$, $t=-1$ обращают многочлен в $0$) раскладываем:

$t^4-4t^3-14t^2+36t+45=(t-3)(t+1)(t-5)(t+3)$.

  +         -         +       -       +  
◂───────○─────────○────────○───────○──────▸
       -3        -1        3       5      

Решение:

$t\in(-3;-1)\cup(3;5)$.

$\log_2x\in(-3;-1)$

$\dfrac18<x<\dfrac12$

$\log_2x\in(3;5)$

$8<x<32$.

Ответ: $x\in\left(\dfrac18;\dfrac12\right)\cup(8;32)$.