Задание 16 №2250 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x>0$, $\log_2x\neq5$ (то есть $x\neq32$). Замена $t=\log_2x$:

$\log_2\left(\dfrac{x^{10}}4\right)=10t-2$, поэтому знаменатель второй дроби $t^2-(10t-2)+23=t^2-10t+25=(t-5)^2$.

Неравенство $1+\dfrac{9}{t-5}+\dfrac{18}{(t-5)^2}\ge0$ (при $t\neq5$).

Умножаем на $(t-5)^2>0$:

$(t-5)^2+9(t-5)+18\ge0$.

Раскрываем скобки:

$t^2-10t+25+9t-45+18\ge0$

$t^2-t-2\ge0$

$(t-2)(t+1)\ge0$

$t\le-1$ или $t\ge2$ (при $t\neq5$).

$\log_2x\le-1$

$0<x\le\dfrac12$

$\log_2x\ge2$, $x\neq32$

$x\ge4$, $x\neq32$.

Ответ: $x\in\left(0;\dfrac12\right]\cup[4;32)\cup(32;+\infty)$.