Задание 16 №2247 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x>0$, $x\neq1$, $x\neq8$. Замена $t=\log_2x$:

$\log_2x^3=3t$, $\log_2(x/8)=t-3$. Неравенство:

$\dfrac2t+\dfrac{5}{t^2-3t}\le\dfrac{t}{t-3}$.

Переносим влево, общий знаменатель $t(t-3)$:

$\dfrac{2(t-3)+5-t^2}{t(t-3)}\le0$

$\dfrac{-t^2+2t-1}{t(t-3)}\le0$

$\dfrac{(t-1)^2}{t(t-3)}\ge0$ (умножили на $-1$).

Числитель $\ge0$ всегда (ноль при $t=1$); нужно $t(t-3)>0$ (то есть $t<0$ или $t>3$), либо $t=1$ (дробь $=0$, знаменатель $1\cdot(-2)=-2\neq0$).

$\log_2x<0$

$0<x<1$

$\log_2x=1$

$x=2$

$\log_2x>3$

$x>8$.

Ответ: $x\in(0;1)\cup\{2\}\cup(8;+\infty)$.